Integrazione di funzioni razionali fratte

Gli integrali che rientrano nella forma:


sono integrali di funzioni razionali. Esistono varie metodologie per la risoluzione di tali integrali.

Le prime cose da analizzare sono il grado del numeratore e il grado del denominatore.

Grado del numeratore maggiore o uguale al grado del denominatore

Nel caso in cui il grado del numeratore sia maggiore o uguale al grado del denominatore si effettua la divisione tra polinomi ottenendo il quoziente Q(x) e il resto R(x):

f(x) = g(x)Q(x) + R(x)

dalla quale ricaviamo



con R(x) polinomio di grado inferiore al grado n del divisore g(x). Perciò possiamo scrivere:



riconducendoci al caso di una funzione razionale con grado del numeratore strettamente minore di quello del denominatore.



Grado del numeratore minore del grado del denominatore

Esaminiamo nel dettaglio funzioni razionali con denominatore di 2° grado:



In questo caso distinguiamo tre casi in base allo studio del discriminante (eventualmente dividendo per il termine di grado massimo ci si può sempre riportare ad un polinomio con coefficiente di secondo grado pari a 1 al denominatore):

Denominatore con due radici reali distinte

Se Δ > 0 allora x2 + b1x + b0 = 0 ammette due radici reali distinte x1 e x2 dunque x2 + b1x + b0 = (x − x1)(x − x2). Esistono dunque due costanti reali A,B tali che:



A e B si determinano, utilizzando il Principio di Identità dei Polinomi (P.I.P.) in base alla condizione:



Questa è equivalente al sistema lineare:



Determinate A,B (risolvendo il sistema), si calcola:



Denominatore con una radice reale

Se Δ = 0 allora x2 + b1x + b0 = 0 ammette due radici reali coincidenti x1 = x2 = x0, dunque x2 + b1x + b0 = (x − x0)2 ed esistono due costanti reali A,B tali che:



Determinate A,B con il P.I.P., si calcolano i due sempici integrali


Denominatore con due radici complesse coniugate

Se Δ < 0 allora x2 + b1x + b0 = 0 non ammette radici reali. È sempre possibile determinare A,B tali che



A,B si ricavano in base al P.I.P.:

a1x + a0 = 2Ax + Ab1 + B

cioè





Ora, per il secondo addendo, è sempre possibile ricavare K,D tali che . Dall'uguaglianza precedente si imposta il sistema dal quale si ricavano K e D:



Il calcolo dell'integrale si può scrivere quindi come:

Gli esempi successivi chiariranno meglio l'applicazione