Esempio di continuità e derivabilità

E' abbastanza intuitivo che una funzione che non sia continua non può essere nemmeno derivabile. Una interruzione del grafico "impedisce" l'esistenza della retta tangente.

La precedente affermazione è un teorema di non difficile dimostrazione:

Se una funzione è derivabile allora è anche continua.

Tornando all'esempio precedente, occorre innanzitutto imporre al parametro a la condizione di continuità (limite uguale all'immagine). Essendo una funzione definita per casi occorrerà calcolare i due limiti laterali e imporre la loro uguaglianza (affinchè si possa dire che il limite c'è!) e poi che coincida con il valore dell'immagine. In formule:

cioè a=1.

In questa condizione, per verificare la derivabilità, occorre calcolare i limiti laterali del rapporto incrementale in 0 e controllare che dianno lo stesso risultato, diversamente la funzione sarà continua ma non derivabile. In formule:

uguaglianza evidentemente verificata.