Algebra della derivabilità

Come si evince dalla definizione, non è sempre vero che una funzione sia sempre derivabile; deve infatti esistere ed essere finito il limite del rapporto incrementale ecc. ecc.

Di seguito riportiamo la tabella delle derivate fondamentali che non sono da intendersi soltanto come regole di derivazione, bensì come veri e propri teoremi.

  y = f(x) y' = f(x)
1. y = costante y' = 0
2. y = x y' = 1
3. y = ax y' = ax·lna
4. y = ex y' = ex
5. y = senx y' = cosx
6. y = cosx y' = -senx
7. y = |x| y'=|x|/x = sgn(x) con x ≠ 0

Per capirci:

la derivata di senx è cosx è da intendersi come: la funzione y = senx è derivabile in tutto il suo dominio (cioè in tutto l'insieme dei numeri reali) e la sua derivata è la funzione y = cosx, e questo risultato si ottiene dimostrando che

Adesso riportiamo invece la tabella delle "regole di derivazione"; anche queste sono da intendersi non soltanto come "regole da sapere a memoria", ma come altrettanti teoremi:

 


"Regole di derivazione"
a. Regola della somma (linearità)
b. Regola del prodotto
c. Regola del rapporto
d. Regola delle funzioni composte
e. Regola delle funzioni inverse

Per capirci:

La regola b sarebbe il teorema:

"Se le funzioni y=f(x) e y=g(x) sono derivabili allora è derivabile anche la funzione rappresentata dal loro prodotto e si ha: "

Sottolineiamo che le ipotesi (le funzioni y=f(x) e y=g(x) sono derivabili) rappresentano una condizione solo sufficiente e non necessaria affinche la funzione prodotto sia derivabile: considerando infatti ad esempio le due funzioni y=|x| e y=x , di cui solo la seconda è derivabile anche in zero, il loro prodotto: y=x·|x| è derivabile in zero e la sua derivata, come si può verificare facilmente, vale zero.

L'insieme dei teoremi contenuti nelle precedenti due tabelle rappresentano ciò che intendiamo con

"Algebra della derivabilità"


Nell'attività successiva ti chiederemo di indicare quali teoremi precedenti sono stati applicati per ottenere i risultati contenuti nella tabella che troverai e che rappresenta, ahinoi, una serie di risultati che ci aspettiamo tu sappia "a memoria"