Esercizi di comppletamento per autoverifica

Precisazioni per lo svolgimento degli esercizi.

Di seguito vengono presentati alcuni problemi che lo studente dovrà completare per verificare la propria preparazione sugli argomenti trattati. Per le regole di completamento generali si rimanda all'introduzione iniziale dell'unità. Qui si precisa che qualora debba introdursi una frazione ed il numeratore e/o il denominatore siano costituiti da un'espressione algebrica, questi vanno inseriti compresi tra parentesi tonde. Inoltre talvolta bisognerà inserire delle formule ed altre volte delle espressioni numeriche.

Lo studente capirà di dover inserire una formula quando lo spazio vuoto è preceduto da alcuni spazi di colore.

Ad esempio se si vuole scrivere bisogna digitare 2/(3m^2), mentre se si vuole scrivere bisogna digitare 3/4sqrt(5), infine per una frazione del tipo bisognerà digitare (3+sqrt(2))/(5a+b^2).

Problema 1

Le tangenti ad una circonferenza condotte da un punto esterno ad essa formano un angolo di . Sapendo che il raggio del cerchio è

determinare:

la distanza di dal centro della circonferenza;
l'area del quadrilatero dove e sono i punti di contatto tra le tangenti per e la circonferenza.

Poichè è tangente alla circonferenza il raggio è perpendicolare alla retta , inoltre, da teoremi di geometria si sa che è bisettrice dell'angolo , dunque per il teorema sulla risoluzione dei triangoli:

e quindi

A questo punto si può facilmente calcolare l'area del quadrilatero:

Problema 2

E' dato un triangolo qualsiasi , di cui si conosce la misura del lato e la sua proiezione ortogonale sul lato , la quale misura . Inoltre, riguardo gli angoli, si sa che . Determinare perimetro ed area del triangolo.

Con il primo teorema sui triangoli rettangoli:

e per il teorema di Pitagora

Conviene calcolare anche la tangente dell'angolo in funzione dei cateti del triangolo :

In tal modo è possibile determinare la tangente di :

= .

Grazie a questo valore si può determinare la lunghezza del segmento :

dunque .

A questo punto intanto è possibile calcolare l'area del triangolo sia con la classica formula che con il teorema dell'area richiamato nel primo capitolo:

Per calcolare il lato si osserva che è l'ipotenusa del triangolo rettangolo , dunque bisogna prima utilizzare la formula di duplicazione del coseno per calcolare e poi la risoluzione dei triangoli rettangoli.

Infine sommando i tre lati del triangolo si trova che il perimetro è

JXUwMDZhJXUwMDA0

Problema 3

E' dato un triangolo isoscele

di vertice

, tale che

, dove, con la solita convenzione,

denota l'angolo di vertice

. Determinare perimetro ed area del triangolo.

Poichè il triangolo è isoscele si sa che , dunque . Con l'identità fondamentale si può calcolare il coseno di ( e di ):

Essendo si ha

Con il teorema dei seni si calcola il lato ( che è uguale ad ):

A questo punto si può calcolare il perimetro del triangolo

e l'area ( si digiti alla fine l'unità di misura):

Problema 4

In un cerchio di raggio è condotta una corda la cui distanza dal centro è . Inscrivere nel segmento circolare che non contiene il centro un triangolo in modo tale che i lati e soddisfino la relazione

Detto il segmento perpendicolare alla corda , si sa che .

Daltra parte , dunque e , quindi un qualsiasi angolo alla circonferenza che sottenda la corda, ad esempio , misura , pertanto

Per le proprietà relative ai quadrilateri inscritti in una circonferenza .

A questo punto bisogna scegliere un angolo da assumere come incognita. Poichè nella relazione bisogna inserire i lati del triangolo , e la posizione di è incognita, è abbastanza naturale porre , e le limitazioni geometriche sono , dovendo essere la somma degli angoli interni di un triangolo pari a .