Rette passanti per l'origine degli assi
Il coefficiente angolare
Consideriamo la retta r del grafico seguente, passante per l'origine O(0;0) degli assi, che taglia il primo ed il terzo quadrante (nel caso in cui la retta incontra il secondo e il quarto quadrante il ragionamento è lo stesso).
Scelti sulla retta r tre punti qualsiasi P, Q ed R ed indicati con P1, Q1 ed R1 le rispettive proiezioni sull'asse delle ascisse, osserviamo nel grafico dinamico sottostante i triangoli rettangoli OPP1, OQQ1, ORR1. Essi sono simili, i loro lati sono in proporzione.
Il rapporto di proporzionalità tra le ordinate ( )e le ascisse () dei punti P,Q ed R non cambia anche se spostiamo i punti P, Q ed R facendoli scorrere sulla retta.
Questo rapporto si indica con la lettera m e si chiama coefficiente angolare della retta r.
Il coefficiente angolare indica la pendenza della retta.
Prova a trascinare i punti sulla retta ed osserva il valore di m: esso rimane costante!
L'equazione della retta per O(0;0)
Scegliamo ora un punto qualsiasi della retta r, A(x;y) diverso dall'origine: il rapporto tra l'ordinata e l'ascissa di A è uguale ad m.
L'equazione della retta è quindi data da: y=mx.
Osservazioni sul coefficiente angolare
La retta del precedente grafico dinamico passa per l'origine e per il punto A.
Sposta il punto A nel piano cartesiano, osserva il valore del coefficiente angolare e completa il testo sottostante con i termini corretti.
Se la retta appartiene al primo e al terzo quadrante m è un numero
: infatti le coordinate del punto A (e quelle di ogni altro punto sulla retta) hanno entrambe lo stesso segno.Sela retta appartiene al secondo e al quarto quadrante m è un numero
: l'ascissa e l'ordinata di ogni punto appartenente alla retta hanno segno .Tutti e soli i punti che hanno l'ascissa uguale all'ordinata si trovano per m=
La retta y=x è allora la
del primo e terzo quadrante.Per m= -1 ottieni la retta di equazione
che rappresenta tutti e soli i punti del piano che hanno l'ascissa all'ordinata.La retta y=-x è allora la bisettrice del
e quadrante.Per m= 0 ottieni la retta
che rappresenta l'asse .Non è possibile ottenere l'asse delle y per nessun valore di m.
L'asse delle
non si può esprimere con una equazione del tipo y=mx.Per rappresentare una retta hai bisogno di conoscere le coordinate di almeno due suoi punti (ricorda infatti che bastano due punti per individuare una retta nel piano).
Costruisci la tabella seguente per la retta a)
x | y=3x |
0 | 0 |
1 | 3 |
Nella prima colonna assegna, ad esempio, ad x i valori 0 ed 1 e nella seconda colonna riporta i valori di y ottenuti sostituendo rispettivamente nell'equazione della retta i numeri 0 ed 1 alla variabile x.
La retta a) passa per i punti (0;0) e (1;3): tracciane il grafico.
Costruisci le analoghe tabelle per le altre rette e rappresentale graficamente.
Data la retta di equazione verifica che il punto appartiene alla retta e che il punto non appartiene alla retta data. Determina poi l'ordinata del punto C, appartenente alla retta, di ascissa .
Puoi risolvere l'esercizio con carta e penna oppure rappresentare la retta ed i punti dati con Geogebra.
Se un punto appartiene ad una retta le sue coordinate soddisfano l'equazione della retta: sostituendo nell'equazione della retta l'ascissa e l'ordinata del punto si deve ottenere una identità.
Per trovare l'ordinata del punto C, nell'equazione della retta si sostitutisce il valore della sua ascissa .