Esempi di esercizi più complessi



  • Trovare la distanza fra un punto P e una retta r:

1. usando l’equazione del fascio di rette, si trova la retta s passante per P e a r,

2. trovo il punto Q di intersezione fra r e s risolvendo il sistema formato dalle equazioni delle

due rette,

3. la distanza fra P e r è uguale alla distanza fra P e Q.

 

  • Trovare l’altezza di un triangolo di vertici A,B e C rispetto alla sua base AB:

a) trovo la retta r che passa per A e B utilizzando l’equazione della retta per due punti dati,

b) trovo la distanza fra C e la retta r usando il procedimento descritto nell’esempio precedente.

 

 

  • Trovare il baricentro di un triangolo di vertici A B e C:
    1. trovo la mediana r rispetto ad un suo lato (ad esempio AB) e cioè:
      • trovo il punto medio del lato  ,
      • con l’equazione della retta per due punti trovo la retta (r) che passa per il vertice opposto al lato e il punto medio appena trovato,

2.trovo la mediana s rispetto ad un altro suo lato (ad esempio BC),

il baricentro è il punto di intersezione fra la retta r e la retta s che si trova risolvendo il sistema formato dalle due equazioni.


 

  • Trovare l’ortocentro di un triangolo di vertici A,B e C

1. trovo l’equazione dell’altezza r rispetto ad un suo lato (ad esempio AB) e cioè:

  •  
    • Trovo il coeff. ang. del lato (mAB ) usando la formula per il ceoff. angolare della retta per due punti dati,
    • Con l’equazione del fascio di rette trovo r sapendo che passa per il vertice opposto al lato in considerazione e che è perpendicolare al lato,

 

2. trovo l’equazione dell’altezza s rispetto ad un altro suo lato,

3. l’ortocentro è il punto di intersezione fra r e s che si ricava risolvendo il sistema formato dalle equazioni delle due rette.

 

 

  • Trovare l’asse di un segmento AB:

 

1. trovo il coeff. ang. mAB,

2. trovo il punto medio MAB,

3. trovo l’asse con l’equazione del fascio di rette imponendo che passi per MAB e che il suo coeff. ang. sia :

.

 

  • Trovare il centro e il raggio della circonferenza passante per tre punti A,B e C assegnati :

1. trovo l’equazione r dell’asse di AB,

2. trovo l’equazione s dell’asse di BC,

3. il centro è il punto di intersezione fra r e s che si trova risolvendo il sistema composto dalle due rette r e s ,

4. il raggio è la distanza fra il centro (appena trovato) e uno dei punti dati (ad esmpio A).

 

  • Trovare il circocentro del triangolo di vertici A,B e C:

Si procede esattamente come nell’esrcizio precedente, infatti il circocentro è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo dato.

 

 

Suggerimento:

Ciascuno degli esercizi proposti può essere risolto graficamente (cioè facendo un disegno con riga e, quando necessario, compasso), quindi, nel caso non sia chiaro come risolvere l’esercizio, provare a rappresentare il problema sul piano cartesiano e risolverlo per questa strada, poi riprovare a risolverlo. Il metodo grafico può essere altresì utile per verificare la correttezza del risultato. Se alcuni concetti come ortocentro, baricentro, non sono chiari provare a ripassarli andando a leggerli sul libro di geometria.