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La circonferenza di centro C(h,k) e raggio r è l'insieme dei punti del piano la cui distanza da C è uguale ad r.

Un punto P(x,y) del piano appartiene alla circonferenza se e solo se ,cioè se:

 

elevando al quadrato

 

L'equazione diventa:

 

 

L'equazione rappresenta una circonferenza di centro C(-a/2 , -b/2)` e raggio

 

 

Se si ha una circonferenza .
Se si ha una circonferenza
Se si ha un solo

La retta tangente ad una circonferenza in un suo punto P è perpendicolare alla retta che unisce il punto P al centro C della circonferenza. Quindi per determinare l'equazione della tangente ad una data circonferenza di centro ` C(Xc, Yc) ` in un suo punto `P(Xp, Yp) `, si può procedere nel seguente modo:

  1. si trova il coefficiente angolare della retta che unisce il punto P al centro C
  2. si determina il coefficiente angolare della tangente
  3. si scrive l'equazione della tangente

 

Tangente da un punto esterno

I procedimento
Una retta può intersecare una circonferenza in due punti distinti (secante), oppure in due punti coincidenti (tangente), oppure in nessun punto (esterna).

Le rette tangenti passanti per P appartengono al fascio proprio di rette con centro in P; pertanto esse hanno equazione del tipo ` y+2=m(x-3) `. Allora per trovare le equazioni di tali rette basta determinare i relativi coefficienti angolari m. Le intersezioni tra una generica retta passante per P e la circonferenza si trovano risolvendo il seguente sistema:

`=>


La seconda equazione del sistema ha come soluzioni le ascisse dei punti di intersezione della generica retta per P con la circonferenza; le soluzioni dipendono dal parametro m. Poiché vogliamo determinare le rette tangenti, le soluzioni di tale equazione devono essere coincidenti e ciò accade solo se il discriminante dell'equazione è uguale a zero. Imponiamo perciò che:

=> ...

Le tangenti passanti per P sono perciò le rette: ` y=-2x+4 ` e ` y=2/29x-64/29 `.

II procedimento

Osserviamo che la distanza tra il centro della circonferenza e una qualunque retta tangente alla circonferenza è uguale al raggio. Il centro della circonferenza è ` C(-4 , 2)` e il suo raggio è . Una retta passante per P , appartenente perciò al fascio y+2=m(x-3) è tangente alla circonferenza se la sua distanza dal centro è , cioè se:

Calcola, Calcola ...

Le tangenti passanti per P sono perciò le rette: ` y=-2x+4 ` e ` y=2/29x-64/29 `.